【题目】如图,抛物线经过、两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将抛物线向下平移个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在的内部(不包括的边界),求的取值范围.
(3)若是抛物线上一动点,是否存在点,使的面积是?若存在,直接写出P点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在,和
【解析】
(1)把点A(0,6)、B(4,2)代入y=x2+bx+c,利用待定系数法即可得出抛物线的解析式;
(2)先利用配方法求出二次函数的顶点坐标,利用待定系数法分别求出直线AB与直线OB的解析式,将顶点横坐标的值分别代入两直线的解析式,求出对应的y的值,进而得出m的取值范围;
(3)设抛物线上存在点P(x,x2+3x+6),使△PAB的面积是10.过P作x轴的垂线,交直线AB于Q,则Q(x,x+6).分两种情况进行讨论:①点P在AB上方;②点P在AB下方.根据△PAB的面积是10列方程求解.
解:(1)抛物线过,,则有:
解之得:
∴所求的解析式是:
(2)∵
∴ 顶点的坐标为.
设直线的解析式是,因为直线经过、两点,
所以有, 解之得:
∴直线的解析式为.
设直线的解析式是,因为直线经过、两点,
所以有 ,解之得:
∴直线的解析式为.
把代入得
把代入得
∵,
∴.
(3)设抛物线上存在点P(x,x2+3x+6),使△PAB的面积是10.
过P作x轴的垂线,交直线AB于Q,
∵直线的解析式为,则Q(x,x+6).
分两种情况:①点P在AB上方时,
PQ=x2+3x+6(x+6)=x2+4x,
∵△PAB的面积=△PAQ的面积+△PQB的面积
=PQ4=2PQ=10,
∴PQ=5,
∴x2+4x=5,
解得x无实数根;
②点P在AB下方时,
PQ=(x+6)(x2+3x+6)=x24x,
∵△PAB的面积=|△PAQ的面积△PQB的面积|
=PQ4=2PQ=10,
∴PQ=5,
∴x24x=5,
解得x1=1,x2=5,
故所求P点坐标为(1,2)或(5,4).
综上,存在和使的面积是.
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【题目】如图,正方形边长为2,、分别是、上两动点,且满足,交于点.
(1)如图1,判断线段、的位置关系,并说明理由;
(2)在(1)的条件下,连接,直接写出的最小值为 ;
(3)如图2,点为的中点,连接.
①求证:平分;
②求线段的长度.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标为A(﹣4,1),B(﹣2,3),C(﹣1,2).
(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A′B′C′,点A′,B′,C′分别是点A,B,C的对应点.
(2)求过点B′的反比例函数解析式.
(3)判断A′B′的中点P是否在(2)的函数图象上.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若AB=,BD=2,求OE的长.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为r(r>0).给出如下定义:若平面上一点P到圆心O的距离d,满足,则称点P为⊙O的“随心点”.
(1)当⊙O的半径r=2时,A(3,0),B(0,4),C(,2),D(,)中,⊙O的“随心点”是 ;
(2)若点E(4,3)是⊙O的“随心点”,求⊙O的半径r的取值范围;
(3)当⊙O的半径r=2时,直线y=- x+b(b≠0)与x轴交于点M,与y轴交于点N,若线段MN上存在⊙O的“随心点”,直接写出b的取值范围 .
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【题目】小明家的门框上装有一把防盗门锁(如图1)其平面结构图如图2所示,锁身可以看成由两条等弧和矩形组成,的圆心是倒锁按钮点.其中的弓高.当锁柄绕着点旋转至位置时,门锁打开,此时直线与所在圆相切,且则的长度约为____________.(结果精确到,参考数据:).
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C在圆O上,BE⊥CD垂足为E,CB平分∠ABE,连接BC
(1)求证:CD为⊙O的切线;
(2)若cos∠CAB=,CE=,求AD的长.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B的平分线交AC于E,DE⊥BE.
(1)试说明AC是△BED外接圆的切线;
(2)若CE=1,BC=2,求△ABC内切圆的面积.
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【题目】如图,已知抛物线的方程C1:(m>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标;
(3)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
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