Question

19．如图，已知等腰三角形ABC，∠ACB=120°且AC=BC=4，在平面内任作∠APB=60°，BP最大值为8．

Answer 1

分析 先根据∠ACB=120°，∠APB=60°得出A、P、B、C四点共圆，故当PB是圆的直径时最长，此时∠PAB=90°，故∠ABP=30°，过点C作AB的垂线交PB于点O，则点O即为圆心，由等腰三角形的性质得出∠BCO=60°，∠ACB=30°．故可得出△OBC是等边三角形，由此可得出结论．

解答 解：∵∠ACB=120°，∠APB=60°，
∴A、P、B、C四点共圆，
∴当PB是圆的直径时最长，
∴∠PAB=90°，
∴∠ABP=30°．
过点C作AB的垂线交PB于点O，则点O即为圆心，
∵∠ACB=120°且AC=BC=4，
∴∠BCO=60°，∠ACB=30°，
∴∠OBC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC=BC=4，
∴PB=2OC=8．
故答案为：8．

点评 本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．