Question

9．阅读第（1）题的解答过程，再做第（2）题．
（1）已知x+x^-1=5，求x³+x^-3的值．
解：∵x²+x^{-2
_=（x+x-1）2}-2
=5²-2=23，
∴x³+x^-3
=（x+x^-1）（x²+x^-2）-（x•x^-2+x^-1•x²）
=（x+x^-1）（x²+x^-2）-（x^-1+x）
=5×23-5
=110．
（2）已知x+x^-1=3，用两种方法求x⁵+x^-5的值．

Answer 1

分析 方法一：根据（1）可得出x⁵+x^-5=（x³+x^-3）（x²+x^-2）-（x+x^-1），整体代入即可；
方法二：由x+x^-1=3，利用完全平方公式可求出x²+x^-2=7，再利用分式乘法可求出x³+x^-3=18，也可求出x⁴+x^-4=47，再利用分式乘法求出x⁵+x^-5+x³+x^-3=141，即可得出x⁵+x^-5的值

解答 解：方法一：
∵x+x^-1=3，
∴x²+x^{-2
_=（x+x-1）2}-2
=3²-2=7，
∴x³+x^-3
=（x+x^-1）（x²+x^-2）-（x•x^-2+x^-1•x²）
=（x+x^-1）（x²+x^-2）-（x^-1+x）
=3×7-3
=18．
∴x⁵+x^-5=（x³+x^-3）（x²+x^-2）-（x+x^-1）
=18×7-3
=123．
方法二：
∵x+x^-1=3，
∴（x+x^-1）²=9，得x²+x^-2=7，
∴（x+x^-1）（x²+x^-2）=21，化简得x³+x^-3=18，
（x²+x^-2）²=49，化简得x⁴+x^-4=47，
（x+x^-1）（x⁴+x^-4）=3×47，化简得x⁵+x^-5+x³+x^-3=141，
∴x⁵+x^-5=141-（x³+x^-3）=141-18=123．

点评 本题考查了整式的混合运算，负整数指数幂，解题关键是整体代入的思想．