Question

如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC边上一点，且AD⊥AB．
（1）求证：BD=2AC；
（2）若∠C=45°，AD²=4-2

2

，求CD的长度．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：（1）找到BD中点E，连接AE，易证AE=BE，AE=AC，即可解题；
（2）易证∠ADB=67.5°，即可求得AB²的值，再根据勾股定理即可求得BD的长，即可求得AC的长，易证△ACD∽△BCA，可得

AC

BC

=

CD

AC

，即可求得CD的长，即可解题．

解答：解：（1）找到BD中点E，连接AE，

∵E是BD中点，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE，
∴∠AEC=2∠B，
∵∠C=2∠B，
∴∠AEC=∠C，
∴AE=AC，
∴BD=2AC；
（2）∵∠C=45°，
∴∠B=22.5°，
∴∠ADB=67.5°，
∴AB²=AD²•tan67.5°=（4-2

2

）•(

2

+1)2=4+2

2

，
∵BD²=AB²+AD²=8，
∴BD=2

2

，
∴AC=

2

，
∵∠BAD=90°，
∴∠CAD=22.5°，
∴△ACD∽△BCA，
∴

AC

BC

=

CD

AC

，
∴CD（CD+2

2

）=2，
解得：CD=2-

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证△ACD∽△BCA是解题的关键．