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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．设P、Q两点同时出发移动的时间为t（s）．
    （1）当t为何值时，△PBQ与△ABC相似？
    （2）当t为何值时，使得S△PBQ=8cm2？
    （3）如果P、Q分别从A、B同时出发，且P沿A→B→C方向运动，Q点沿B→C→A方向运动，当t为何值时，使得S△PCQ=12.6cm2？
    分析：（1）首先设经过t秒，△PBQ与△ABC相似，则AP=tcm，BP=6-t（cm），BQ=2tcm，然后分别从若△PBQ∽△ABC与若△PBQ∽△CBA去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
    （2）由题意，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm2，则PB=6-t，BQ=2t，根据三角形面积的计算公式，S△PBQ=
    1
    2
    BP×BQ，列出表达式，解答出即可；
    （3）首先过Q作QD⊥BC于D点，易证得△CDQ∽△CBA，设经过y秒，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得QD的长，又由△CPQ的面积为12.6cm2，即可求得答案．
    解答：解：（1）∵在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，
    ∴AC=
    		AB2+BC2
    =10（cm），
    设经过t秒，△PBQ与△ABC相似，则AP=tcm，BP=6-t（cm），BQ=2tcm，
    ①若△PBQ∽△ABC，则
    PB
    AB
    =
    BQ
    BC
    ，
    即
    6-t
    6
    =
    2t
    8
    ，
    ∴t=
    12
    5
    ，
    ②若△PBQ∽△CBA，则
    PB
    BC
    =
    BQ
    AB
    ，
    即
    6-t
    8
    =
    2t
    6
    ，
    ∴解得：t=
    18
    11
    ，
    ∴经过
    12
    5
    s或
    18
    11
    s时，△PBQ与△ABC相似．

    （2）设经过t秒后，△PBQ的面积等于8cm2．
    1
    2
    ×（6-t）×2t=8，
    解得：t1=2，t2=4，
    答：经过2或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．

    （3）设经过y秒后，△PCQ的面积等于12.6cm2．
    ①0＜y≤4（Q在BC上，P在AB上）时，如图1：连接PC，
    则CQ=8-2y，PB=6-y，
    ∵S△PQC=
    1
    2
    CQ×PB，
    ∴
    1
    2
    ×（8-2y）×（6-y）=12.6，
    解得y1=5+
    		340
    5
    ＞4（不合题意，舍去），y2=5-
    		340
    5
    ；

    ②4＜y≤6（Q在CA上，P在AB上），如图2，
    过点P作PM⊥AC，交AC于点M，
    由题意可知CQ=2y-8，AP=y，
    在直角三角形ABC中，sinA=
    BC
    AC
    =
    4
    5
    ，
    在直角三角形APM中，sinA=
    PM
    AP
    ，
    即
    PM
    y
    =
    4
    5
    ，
    ∴PM=
    4
    5
    y，
    ∵S△PCQ=
    1
    2
    CQ×PM，
    ∴
    1
    2
    ×（2y-8）×
    4
    5
    y=12.6，
    解得y1=2+
    		79
    2
    ＞6（舍去），y2=2-
    		79
    2
    ＜0（负值舍去）；

    ③6＜y≤9（Q在CA上，P在BC上），如图3，
    过点Q作QD⊥BC，交BC于点D，
    ∵∠B=90°，
    ∴QD∥AB，
    ∴
    QD
    AB
    =
    CQ
    AC
    ，即
    QD
    6
    =
    2y-8
    10
    ，
    ∴QD=
    6y-24
    5
    ，
    ∵S△CQP=
    1
    2
    ×CP×QD，
    ∴
    1
    2
    ×（14-y）×
    6y-24
    5
    =12.6
    解得：y1=7，y2=11（不合题意，舍去）
    答：当（5-
    2
    		85
    5
    ）秒或7秒后，△PCQ的面积等于12.6cm2．
    点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度较大，属于动点型题目，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
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