Question

如图，△ABC中，AC=BC，，D在AC上，BD=DE，且∠EDB=90°，则CE的长为________，AD的长为________．

Answer 1

    
分析：先过点D作DF⊥BC于F，设AD=x，由于AC=BC，∠C=30°，根据三角形内角和定理，易求∠CAB=∠CBA=75°，而BD=DE，且∠EDB=90°，那么△BDE是等腰直角三角形，利用其性质，可求∠DEB=∠DBE=45°，DF=BE，从而可求∠ABD=30°，再利用相似三角形的判定，可知△ABC∽△ADB，可得AB：AD=AC：AB，利用△ABD是等腰三角形，△BDE是等腰直角三角形，DF⊥BE，∠C=30°，可求BE=CD=2，再代入①中，即可求x，从而可求AD、CE．
解答：解：过点D作DF⊥BC于F，设AD=x，
∵AC=BC，∠C=30°，
∴∠CAB=∠CBA=75°，
又∵BD=DE，且∠EDB=90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠DEB=∠DBE=45°，DF=BE，
∴∠DBA=75°-45°=30°，
在△ABC和△ABD中，
∵∠A=∠A，∠ABD=∠ACB，
∴△ABC∽△ADB，
∴AB：AD=AC：AB①，
又∵△ABD是等腰三角形，
∴BD=，
同理DE=，
∴BE==2，
又∵DF⊥BE，
∴DF=BE=1，
在△CDF中，∠C=30°，∠CFD=90°，
∴CD=2DF=2，
∴x（x+2）=2，
解得x=-1（负数不合题意，舍去），
∴CE=AD=x=-1．
故答案为：-1，-1．
点评：本题考查了三角形内角和定理、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形三线合一定理，直角三角形中，30°的角所对直角边等于斜边的一半．解此题的关键是作辅助线DF⊥BC．