Question

19．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO，交AD于点F，OE⊥OB交BC于点E．
（1）如图1，当O为边AC中点，$\frac{AC}{AB}$=2时，求$\frac{OF}{OE}$的值；
（2）如图2，当O为边AC中点，$\frac{AC}{AB}$=n时，求出$\frac{OF}{OE}$的值；
（3）如图3，当$\frac{AO}{OC}$=$\frac{1}{m}$，$\frac{AC}{AB}$=n时，请直接写出$\frac{OF}{OE}$的值．

Answer 1

分析 （1）先证明∠BAF=∠C，∠ABF=∠COE即可．作OH⊥AC，交BC于H，易证：△OEH和△OFA相似，进而证明△ABF∽△HOE，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得出所求的值；
（2）同（1）的方法得出$\frac{OF}{OE}=\frac{OA}{OH}$，代换即可得出结论；
（3）同（1）的方法得出$\frac{OF}{OE}=\frac{OA}{OH}$，代换即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF=∠C．
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE=90°，
∵∠BOA+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠COE．
过O作AC垂线交BC于H，则OH∥AB，
∵∠ABF=∠COE，∠BAF=∠C．
∴∠AFB=∠OEC，
∴∠AFO=∠HEO，
而∠BAF=∠C，
∴∠FAO=∠EHO，
∴△OEH∽△OFA，
∴$\frac{OF}{OE}=\frac{OA}{OH}$
又∵O为AC的中点，OH∥AB．
∴OH为△ABC的中位线，
∴OH=$\frac{1}{2}$AB，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，
而$\frac{AC}{AB}=2$，
∴$\frac{OA}{OH}=\frac{2}{1}$，
即$\frac{OF}{OE}=2$；
（2）同（1）方法得：$\frac{OF}{OE}=\frac{OA}{OH}$，
∵又∵O为AC的中点，OH∥AB．
∴OH为△ABC的中位线，
∴OH=$\frac{1}{2}$AB，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，
∵$\frac{AC}{AB}$=n，
∴$\frac{OA}{OH}=\frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{1}{2}AB}$=$\frac{AC}{AB}=n$，
∴$\frac{OF}{OE}$=n．
（3）（2）同（1）方法得：$\frac{OF}{OE}=\frac{OA}{OH}$，
∵OH∥AB，
∴$\frac{OH}{AB}=\frac{OC}{AC}$，
∵$\frac{AO}{OC}$=$\frac{1}{m}$，
∴$\frac{OH}{AB}=\frac{mOA}{AC}$，
∴$\frac{OH}{OA}=m×\frac{AB}{AC}$
∵$\frac{AC}{AB}$=n，
∴$\frac{OH}{OA}=\frac{m}{n}$，
∴$\frac{OF}{OE}=\frac{OA}{OH}$=$\frac{n}{m}$．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了平行线的性质，互余的性质，相似三角形的性质和判定，比例的性质，解本题的关键是得出$\frac{OF}{OE}=\frac{OA}{OH}$，难点是用类比的方法作出后面两问．