Question

9．已知一元二次方程M：x²-bx-c=0和N：y²+cy+b=0
（1）若方程M的两个根分别为x₁=-1，x₂=3，求b，c的值及方程N的两根；
（2）若方程M和N有且只有一个根相同，则这个根是-1，此时b-c=-1；
（3）若x为方程M的根，y为方程N的根，是否存在x，y，使下列四个代数式①?x+y②?x-y?③$\frac{x}{y}$④xy的数值中有且仅有三个数值相同．若存在，请求出x和y的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据根与系数的关系即可得b、c的值，再代入方程N求解可得；
（2）设方程M和N相同的根为m，则m²-bm-c=0 ①，m²+cm+b=0 ②，②-①可得m的值，即可知答案；
（3）由y≠0得①和②不相等，从而得出相等的只有①③④或②③④，据此解方程可得．

解答 解：（1）根据题意知，-1+3=b，-1×3=-c，
∴b=2，c=3，
则方程N为：y²+3y+2=0，即（y+2）（y+1）=0，
解得：y₁=-1，y₂=-2；

（2）设方程M和N相同的根为m，则m²-bm-c=0 ①，m²+cm+b=0 ②，
②-①，得：（b+c）（m+1）=0，
∴m=-1，即方程程M和N有且只有一个根相同，这个根是-1，
将x=-1代入x²-bx-c=0，得：1+b-c=0，
∴b-c=-1，
故答案为：-1，-1；

（3）∵y≠0，
∴x+y≠x-y，
∴根据题意知，有如下两种情况：
①x+y=$\frac{x}{y}$=xy，
由$\frac{x}{y}$=xy得x（y+1）（y-1）=0，
∴x=0或y=1或y=-1，
当x=0时，由x+y=$\frac{x}{y}$得y=0，不符合题意，舍去；
当y=1时，x+1=x，不成立，舍去；
当y=-1时，x-1=-x，解得：x=$\frac{1}{2}$；
②x-y=$\frac{x}{y}$=xy，
由①知x=0或y=1或y=-1，
当x=0时，0-y=0，得y=0，舍去；
当y=1时，x-1=x，不成立，舍去；
当y=-1时，x+1=-x，解得x=-$\frac{1}{2}$，
综上，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-1}\end{array}\right.$

点评 本题主要考查根与系数的关系及解方程的能力，根据代数式有意义条件判断出相等的只有①③④或②③④两种情况是关键．