Question

17．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由待定系数法建立二元一次方程组求出m、n的值即可；
（2）先求出BC的解析式，设出点E的横坐标为a，由四边形CDBF的面积=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
（3）分两种情形讨论①当PD=DC时，当CP=CD时，分别写出点P坐标即可．

解答 解：（1）∵A（-1，0），C（0，2）在抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=2}\\{-\frac{1}{2}-m+2=0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．
（2）令y=0，则-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x=4或-1，
∴点B坐标（4，0），
设直线BC为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
设出点E的横坐标为a
∴EF=E_y-F_y=-$\frac{1}{2}$a²+2a（0≤a≤4），
∴S_{四边形CDBF}=S_△BCD+S_△CEF+S_△BEF
=$\frac{1}{2}$BD×OC+$\frac{1}{2}$EF×CM+$\frac{1}{2}$EF×BN
=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×2+$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$a²+2a）×4
=-a²+4a+$\frac{5}{2}$
=-（a-2）²+$\frac{13}{2}$．
∴a=2时，四边形CDBF面积最大，此时点E坐标（2，1）．
∴此时点E是BC中点，
∴当点E运动到BC中点时，四边形CDBF面积最大，最大面积为$\frac{13}{2}$，此时点E坐标（2，1）．
（3）存在．
理由：∵C（0，2），D（$\frac{3}{2}$，0），
∴CD=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
①当PD=DC时，点P坐标（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
②当CP=CD时，点P坐标（$\frac{3}{2}$，4），
③当CP=DP时，
设P（$\frac{3}{2}$，n），
∴DP=|n|，CP=$\sqrt{\frac{9}{4}+（n-2）^{2}}$，
∴|n|=$\sqrt{\frac{9}{4}+（n-2）^{2}}$，
∴n=$\frac{25}{16}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{16}$）
∴当点P坐标（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-4）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{16}$）时，△PCD是以CD为腰的等腰三角形．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键．