Question

如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan∠B=cos∠DAC，
（1）求证：AC=BD；
（2）若sinC=

12

13

，BC=36，求AD的长．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：计算题

分析：（1）根据高的定义得到∠ADB=∠ADC=90°，则分别利用正切和余弦的定义得到tanB=

AD

BD

，cos∠DAC=

AD

AC

，再利用tan∠B=cos∠DAC得到

AD

BD

=

AD

AC

，所以AC=BD；
（2）在Rt△ACD中，根据正弦的定义得sinC=

AD

AC

=

12

13

，可设AD=12k，AC=13k，再根据勾股定理计算出CD=5k，由于BD=AC=13k，于是利用BC=BD+CD得到13k+5k=36，解得k=2，所以AD=24．

解答：（1）证明：∵AD是BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，tanB=

AD

BD

，
在Rt△ACD中，cos∠DAC=

AD

AC

，
∵tan∠B=cos∠DAC，
∴

AD

BD

=

AD

AC

，
∴AC=BD；
（2）解：在Rt△ACD中，sinC=

AD

AC

=

12

13

，
设AD=12k，AC=13k，
∴CD=

AC2-AD2

=5k，
∵BD=AC=13k，
∴BC=BD+CD，
∴13k+5k=36，解得k=2，
∴AD=12×2=24．

点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．