Question

8．如图，△ABC中，∠A=60°，点D在AC上，且AB=CD，DE∥AB，∠CBE+∠CDE=180°．
（1）如图1，当∠ABC=90°时，
①求证：点D是AC边中点；
②判断△BCE的形状，并证明你的结论．
（2）如图2，当ABC≠90°时，（1）中②的结论是否成立？若成立，请验证；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①在Rt△ABC中，根据三角形的内角和得到∠ACB=30°，由直角三角形的性质得到AC=2AB，等量代换即可得到结论；②△BCE是等边三角形，理由：根据已知条件得到∠ADE=∠CBE，根据平行线的性质得到∠EDA=∠A=60°，求得∠CBE=60°，根据三角形的内角和得到∠ABE=30°，于是得到∠AFD=90°，根据直角三角形的性质得到AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AD，推出△EDF≌△BAF，根据全等三角形的性质得到ED=AB=CD，∠ECD=∠CED=30°，即可得到结论；
（2）结论成立，延长AB到F，使AF=AC，连接CF，DF，由∠A=60°，于是得到△ACF是等边三角形，由AB=CD，推出△ADF≌△FBC，根据全等三角形的性质得到CB=DF，∠1=∠2证得DF∥BE，推出四边形BFDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到BE=DF=CB，即可得到结论．

解答 证明：（1）①在Rt△ABC中，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
∵CD=AB，
∴DC=DA
即点D是AC边中点；
②△BCE是等边三角形，
理由：∵∠CBE+∠CDE=180°，∠CDE+∠ADE=180°，
∴∠ADE=∠CBE，
∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠A=60°，
∴∠CBE=60°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，
∴∠AFD=90°，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AD，
∴FD=AF，
∵∠AFB=∠EFD，
在△EDF与△BAF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EDF=∠A}\\{∠EFD=∠AFB}\\{DF=AF}\end{array}\right.$
，∴△EDF≌△BAF，
∴ED=AB=CD，
∴∠ECD=∠CED=30°，
∴∠ECB=60°=∠CEB，
∴△CEB是等边三角形；

（2）结论成立，延长AB到F，使AF=AC，连接CF，DF，
∵∠A=60°，
∴△ACF是等边三角形，
∵AB=CD，
∴AD=BF，
在△ADF与△FBC中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=CF}\\{∠A=∠BFC=60°}\\{AD=BF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△FBC，
∴CB=DF，∠1=∠2，
∵∠3=∠1+∠4=∠2+∠4=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠A=60°，
∴∠CBE=60°，
∴∠3=∠EBC，
∴DF∥BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF=CB，
∵∠EBC=60°，
∴△EBC是等边三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．