Question

18．已知二次函数y=x²+2（m+l）x-m+1．以下四个结论：
①不论m取何值，图象始终过点（$\frac{1}{2}$，2$\frac{1}{4}$）；
②当-3＜m＜0时，抛物线与x轴没有交点：
③当x＞-m-2时，y随x的增大而增大；
④当m=-$\frac{3}{2}$时，抛物线的顶点达到最高位置．
请你分别判断四个结论的真假，并给出理由．

Answer 1

分析 ①把二次函数y=x²+2（m+l）x-m+1转化成y═（x+1）²-（2x-1）m，令x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{9}{4}$，判断出①；②令y=x²+2（m+l）x-m+1=0，求出根的判别式△在-3＜m＜0时小于0，判断②；③求出抛物线的对称轴，即可判断③；④根据顶点坐标式求出抛物线的顶点，然后根据顶点纵坐标判断④．

解答 解：①二次函数y=x²+2（m+l）x-m+1=（x+1）²-（2x-1）m，当x=$\frac{1}{2}$时，y=$\frac{9}{4}$，故可知抛物线总经过点（$\frac{1}{2}$，2$\frac{1}{4}$），故①正确，
②令y=x²+2（m+l）x-m+1=0，求△=4（m+1）²+4m-4=4m²+12m，当-3＜m＜0时，4m²+12m＜0，抛物线与x轴没有交点，故②正确，
③抛物线开口向上，对称轴x=-$\frac{2（m+1）}{2}$=-m-1，所以当x＞-m-1时，y随x的增大而增大，故③错误，
④y=x²+2（m+l）x-m+1=（x+m+1）²-m²-3m，抛物线的顶点坐标为（-m-1，-m²-3m），
因为顶点的纵坐标y=-m²-3m=-（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，所以当m=-$\frac{3}{2}$时，抛物线的顶点达到最高位置．故④正确，
正确的结论有①②④．

点评 本题主要考查二次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握抛物线的图象以及二次函数的性质，此题难度一般．