Question

4．如图，已知?ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，cos∠AEB=$\frac{2}{3}$，求∠C的度数（精确到1′）．

Answer 1

分析 过A作AF⊥BE于F，由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，∠C=∠DAB，根据平行线的性质得到∠AEB=∠ABE，根据角平分线的定义得到∠ABE=∠CBE，等量代换得到∠AEB=∠ABE，求得AE=AB，根据等腰三角形的性质得到∠EAF=∠BAF，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：过A作AF⊥BE于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠C=∠DAB，
∴∠AEB=∠ABE，
∵∠ABC的平分线交AD于E，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB，
∴∠EAF=∠BAF，
∵cos∠AEB=$\frac{2}{3}$，
∴∠AEB≈48°23′，
∴∠EAF=41°37′，
∴∠C=83°14′．

点评 本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，平行线的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．