Question

14．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状：△ABC是等边三角形；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得．

解答 证明：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是$\widehat{BC}$对的圆周角，∠ABC与∠APC是$\widehat{AC}$所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
故答案为：△ABC是等边三角形；

（2）在PC上截取PD=AP，如图1，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠ADC}\\{∠ABP=∠ACD}\\{AP=AD}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP．

点评 本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB≌△ADC是关键．