Question

9．如图①，已知直线y=-$\frac{1}{2}$x+3分别交x轴，y轴于点A，点B．点P是射线AO上的一个动点．把线段PO绕点P逆时针旋转90°得到的对应线段为PO′，再延长PO′到C使CO′=PO′，连结AC，设点P坐标为（m，0），△APC的面积为S．
（1）直接写出OA和OB的长，OA的长是6，OB的长是3；
（2）当点P在线段OA上（不含端点）时，求S关于m的函数表达式；
（3）当以A，P，C为顶点的三角形和△AOB相似时，求出所有满足条件的m的值；
（4）如图②，当点P关于OC的对称点P′落在直线AB上时，m的值是-$\frac{30}{11}$．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，可得OA，OB的长；
（2）根据旋转的性质，可得PO′，根据线段中点的性质，可得PC的长，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）根据相似三角形的性质，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
（4）根据待定系数法，可得OC的解析式，PP′的解析式，根据解方程组，可得D点坐标，根据中点的坐标公式，可得P′点坐标，根据图象上的点满足函数解析式，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）由直线y=-$\frac{1}{2}$x+3可知A（6，0），B（0，3），
∴OA=6，OB=3，
故答案为：6，3； 
（2）∵点P坐标为（m，0），
∴OP=m．
∵线段PO绕点P逆时针旋转90°，得
对应线段为PO′=m．
再延长PO′到C使CO′=PO′，
∴PC=2m．
∵PA=6-m，
∴S=$\frac{1}{2}$（6-m）•2m=-m²+6m（0＜m＜6）；
（3）当0≤m＜6时，
∵以A，P，C为顶点的三角形和△AOB相似，
∴$\frac{6-m}{2m}$=$\frac{3}{6}$，解得m=3，
或$\frac{6-m}{2m}$=$\frac{6}{3}$，解得m=1.2；
当m＜0时，
∵以A，P，C为顶点的三角形和△AOB相似，
∴$\frac{6-m}{-2m}$=$\frac{3}{6}$，m的值不存在，
或$\frac{6-m}{-2m}$=$\frac{6}{3}$，解得m=-2，
综上所述：m=3，m=1.2，m=-2；
（4）如图1：
，
P（m，0），C（m，-2m）
OC的解析式为y=-2x，
PP′的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$m，
联立OC与PP′，得$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}m}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{m}{5}}\\{y=-\frac{2}{5}m}\end{array}\right.$，
D（$\frac{m}{5}$，-$\frac{2}{5}$m），
P′横坐标2×$\frac{m}{5}$-m=-$\frac{3}{5}$m，纵坐标2×（-$\frac{2}{5}$m）-0=-$\frac{4}{5}$m，
P′（-$\frac{3}{5}$m，-$\frac{4}{5}$m）．
将P′点的坐标代入AB，得
-$\frac{4}{5}$m=-$\frac{1}{2}$×（-$\frac{3}{5}$m）+3，
解得m=-$\frac{30}{11}$，
故答案为：-$\frac{30}{11}$．

点评 本题考查了一次函数综合体，利用三角形的面积公式得出函数关系式，利用相似三角形的性质得出关于m的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏；利用线段中点的坐标公式得出P′点的坐标是解题关键．