Question

2．如图，分别以边长1为的等边三角形ABC的顶点为圆心，以其边长为半径作三个等圆，得交点D、E、F，连接CF交⊙C于点G，以点E为圆心，EG长为半径画弧，交边AB于点M，求AM的长．

Answer 1

分析 如图，过点E作EP⊥AB，连接EA、EC，易得△EAC为正三角形，△ABC为正三角形；由正三角形的性质、平行线的性质求得△ECG为等腰直角三角形，根据勾股定理、圆的半径的性质推知EM=EG=$\sqrt{2}$；然后在直角△EPA和直角△EPM中由勾股定理、线段间的和差关系求得AM的长度．

解答 解：如图，过点E作EP⊥AB，连接EA、EC、EM．
∵在⊙C中，EC=AC；在⊙A中，AE=AC，
∴EC=AC=AE，
∴△EAC为正三角形；
同理证得△ABC为正三角形，则∠ECA=∠CAB=60°，
∴EC∥AB，
又∵由相交两圆的性质得：CG⊥AB，
∴EC⊥CG，
∴EM=EG=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵∠EAP=60°，
∴EP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AP=$\frac{1}{2}$，PM=$\sqrt{E{M}^{2}-E{P}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴AM=PM-AP=$\frac{\sqrt{5}}{2}$-1．

点评 本题考查了圆的综合题．此题涉及到的知识点有：勾股定理、等边三角形的判定与性质以及线段间的和差关系，解题的关键是正确的作出题目的辅助线，题目难度较大，综合性较强．