Question

14．如图1，若四边形ABCD为正方形，O是对角线AC上一点，DO的延长线交AB于E，交CB的延长线于F，若OE=3，EF=9，
（1）当E为AB中点时，求OD的长度．
（2）E为线段AB上任意一点时，求OD的长度．
（3）若四边形ABCD为菱形，如图2，O是对角线AC上一点，DO的延长线交AB于E，交CB的延长线于F，若OE=3，EF=9，则OD的长度，直接写出答案．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD为正方形，得到两个角为直角，AD与BC平行，再由E为AB的中点，得到AE=BE，利用ASA得到三角形ADE与三角形FEB全等，利用全等三角形对应边相等得到EF=ED，由ED-OE=EF-OE即可求出OD的长；
（2）设OD=x，由四边形ABCD为正方形，得到两对边平行，由平行得比例列出关系式，再由EB与CD平行，得到三角形EFB与三角形FCD相似，由相似得比例，两比例式联立求出x的值，即为OD的长；
（3）OD=6，理由：过程同（2）．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，∠DAB=90°，∠ABC=90°，
∵点E为AB的中点，
∴AE=BE，
在△AED和△BEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠FEB}\\{AE=BE}\\{∠DAB=∠FBE}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△BEF（ASA），
∴EF=DE，
又∵OE=3，EF=9，
∴OD=6；
（2）设OD=x，
∵正方形ABCD，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥CB，
∴$\frac{AE}{CD}$=$\frac{EO}{OD}$=$\frac{3}{x}$①，
又∵EB∥CD，
∴$\frac{EB}{CD}$=$\frac{EF}{FD}$=$\frac{9}{12+x}$②，
由①+②得：1=$\frac{3}{x}$+$\frac{9}{12+x}$，
解得：x=6，
则OD=6；
（3）设OD=x，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥CB，
∴$\frac{AE}{CD}$=$\frac{EO}{OD}$=$\frac{3}{x}$①，
又∵EB∥CD，
∴$\frac{EB}{CD}$=$\frac{EF}{FD}$=$\frac{9}{12+x}$②，
由①+②得：1=$\frac{3}{x}$+$\frac{9}{12+x}$，
解得：x=6，
则OD=6．

点评 此题考查了四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．