Question

16．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAE，DA∥CE，AB=CB．
（1）试判断BE与AC有何位置关系？并证明你的结论；
（2）若∠DAC=25°，求∠AEB的度数．

Answer 1

分析 （1）由∠DAC=∠EAC，DA∥CE，可得∠DAC=∠ACE，可推出∠ACE=∠EAC，得到EA=EC，可证得BE在AC的垂直平分线上，由AB=CB，可证得结论；
（2）由已知AC是∠DAE的平分线可推出∠EAC=∠DAC，由DA∥CE可推出∠ECA=∠DAC，所以得到∠EAC=∠ECA，则AE=CE，又已知∠AEB=∠CEB，BE=BE，因此△AEB≌△CEB，问题得解．

解答 （1）答：BE垂直平分AC，
证明：∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC=∠EAC，
∵DA∥CE，
∴∠DAC=∠ACE，
∴∠ACE=∠EAC，
∴EA=EC，
∴E在AC的垂直平分线上，
∵AB=CB，
∴B在AC的垂直平分线上，
∴BE垂直平分AC；

（2）解：∵AC是∠DAE的平分线，
∴∠DAC=∠CAE=25°，
又∵DA∥E
∴∠DAC=∠ACE=25°
∴∠CAE=∠ACE=25°
∴AE=CE，∠AEC=130°，
在△AEB和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CE}\\{AB=CB}\\{EB=EB}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CEB，
∴∠AEB=∠CEB，
∴∠AEB=$\frac{1}{2}$（360°-∠AEC）=115°．

点评 此题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是由已知先证明∠EAC=∠ECA，AE=CE，再证明△AEB≌△CEB．