Question

4．在△ABC中，AB＞BC，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D点，交AC于点E．
（1）若∠ABE=38°，求∠EBC的度数；
（2）若△ABC的周长为36cm，一边为13cm，求△BCE的周长．

Answer 1

分析 （1）由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，则可求得∠ABE的度数，又由AB=AC，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案；
（2）求出AC和BC的值，再根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，求出△BCE的周长=AC+BC，代入求出即可．

解答 解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=38°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=$\frac{180°-∠A}{2}$=71°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=71°-38°=33°；

（2）当BC=13cm时，AB=AC=11.5cm，
∵AE=BE，
∴△BCE的周长为BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=13cm+11.5cm=24.5cm；
当AB=AC=13cm时，则BC=10cm，
∵AE=BE，
∴△BCE的周长为BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=10cm+13cm=23cm；
即△BCE的周长为24.5cm或23cm．

点评 此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质，能求出AE=BE是解此题的关键，此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．