Question

【题目】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC：∠BAD=1：2，BE∥AC，CE∥BD．
（1）求tan∠DBC的值；
（2）求证：四边形OBEC是矩形．

Answer 1

【答案】
（1）

解：解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，∠DBC= ∠ABC，

∴∠ABC+∠BAD=180°，

∵∠ABC：∠BAD=1：2，

∴∠ABC=60°，

∴∠BDC= ∠ABC=30°，

则tan∠DBC=tan30°=

（2）

证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，即∠BOC=90°，

∵BE∥AC，CE∥BD，

∴BE∥OC，CE∥OB，

∴四边形OBEC是平行四边形，

则四边形OBEC是矩形

【解析】（1）由四边形ABCD是菱形，得到对边平行，且BD为角平分线，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠BDC度数，即可求出tan∠DBC的值；
（2）由四边形ABCD是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．此题考查了矩形的判定，菱形的性质，以及解直角三角形，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
【考点精析】本题主要考查了菱形的性质和矩形的判定方法的相关知识点，需要掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形才能正确解答此题．