Question

7．已知函数f（x）=x²+bx+c，方程f（x）=x的两个根x₁，x₂，且x₁-x₂＞2．
（1）求证；x₁，x₂也是方程f（f（x））=x的根；
（2）设f（f（x））=x的另两个根是x₃，x₄，且x₃＞x₄．试判断x₁，x₂，x₃，x₄的大小．

Answer 1

分析 （1）由方程f（x）=x的两个根x₁，x₂可得f（x₁）=x₁，f（x₂）=x₂，将其代入f（f（x））=x即可得证；
（2）由方程f（x）=x的两个根x₁，x₂知f（x）-x=（x-x₁）（x-x₂）①，即f（x）=（x-x₁）（x-x₂）+x，从而得出f（x）-x₁=（x-x₁）（x+1-x₂） ②，f（x）-x₂=（x-x₂）（x+1-x₁）   ③，再将f（x）=x代入①可得f[f（x）]-f（x）=[f（x）-x₁][f（x）-x₂]，即f[f（x）]-x=（x-x₁）（x-x₂）[（x+1-x₁）（x+1-x₂）+1]，令g（x）=（x+1-x₁）（x+1-x₂）+1即可得答案．

解答 解：（1）∵方程f（x）=x的两个根x₁，x₂，
∴f（x₁）=x₁，f（x₂）=x₂，
则f（f（x₁））=f（x₁）=x₁，f（f（x₂））=f（x₂）=x₂，
即x₁，x₂也是方程f（f（x））=x的根；

（2）∵方程f（x）=x的两个根x₁，x₂，
∴f（x）-x=（x-x₁）（x-x₂）①，
即f（x）=（x-x₁）（x-x₂）+x，
∴f（x）-x₁=（x-x₁）（x+1-x₂） ②，
f（x）-x₂=（x-x₂）（x+1-x₁）   ③，
在①中，令f（x）代替x，得：
f[f（x）]-f（x）=[f（x）-x₁][f（x）-x₂]，
∴f[f（x）]-x=（x-x₁）（x-x₂）（x+1-x₂）（x+1-x₁）+f（x）-x
=（x-x₁）（x-x₂）[（x+1-x₁）（x+1-x₂）+1]，
令g（x）=（x+1-x₁）（x+1-x₂）+1，
∵g（x₁）=x₁-x₂+2＜0，
g（x₂）=x₂-x₁+2＞0，
∴g（x）=0在（-∞，x₁）及（x₁，x₂）内分别有一个根，由于x₃＞x₄，
∴x₄＜x₁＜x₃＜x₂．

点评 本题主要考查一元二次方程的解得概念，熟练掌握一元二次方程的解的概念和一元二次方程的解和函数间的联系是解题的关键．