Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为边作等腰直角三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE．

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）若AB=2cm，则BE=_______cm．

（3）BE与AD有何位置关系？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）4；（3）BE⊥AD，理由见详解.

【解析】

（1）根据题意，通过SAS即可得证；

（2）由（1）可知BE=AD=2AB；

（3）根据对顶角相等可得∠DCE+∠BEC=∠EBD+∠ADC，由（1）可得∠BEC=∠ADC，则∠EBD=∠DCE=90°.

（1）证明：∵△CDE是等腰直角三角形，∠DCE=90°，

∴CD=CE，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠DCE，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）∵DB=AB，

∴AD=2AB=4cm，

由（1）得：△ACD≌△BCE，

∴BE=AD=4cm；

故答案为：4；

（3）BE⊥AD；理由如下：

根据对顶角相等得，∠DCE+∠BEC=∠EBD+∠ADC，

由（1）得：△ACD≌△BCE，

∴∠ADC=∠BEC，

∴∠EBD=∠DCE=90°，

∴BE⊥AD.