在四边形ABCD中.点E是对角线BD所在直线上一点.以AE为一边.在AE右侧作△AEF使AE=AF.∠BAD=∠EAF.连接DF．(1)如图1.若四边形ABCD为正方形.当点E在线段BD上时.请直接写出∠BDF的度数以及BE与DF之间的数量关系,(2)如图2.若四边形ABCD为菱形.∠BAD=∠EAF=α.∠BDF=β．①当点E在线段BD上移动时.猜想BE与DF之间的数量关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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16．在四边形ABCD中，点E是对角线BD所在直线上一点（不与B、D重合），以AE为一边，在AE右侧作△AEF使AE=AF，∠BAD=∠EAF，连接DF．
（1）如图1，若四边形ABCD为正方形，当点E在线段BD上时，请直接写出∠BDF的度数以及BE与DF之间的数量关系；
（2）如图2，若四边形ABCD为菱形，∠BAD=∠EAF=α，∠BDF=β．
①当点E在线段BD上移动时，猜想BE与DF之间的数量关系，并证明；
②当点E在线段BD上移动时，猜想α与β之间的数量关系，并证明；
③当点E在直线BD上移动时，猜想α与β之间的数量关系，请直接写出答案．

分析（1）关键辅助线的性质得到AB=AD，∠ABD=∠ADB=40°，由角的和差得到∠BAE=∠DAF，推出△ABE≌△ADF，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①根据菱形的性质得到AB=AD，由角的和差得到∠BAE=∠DAF，推出△ABE≌△ADF，根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠ADF，根据角的和差得到∠BDF=∠BDA+∠ADF=∠ABD+∠ADB=β，根据三角形的内角和即可得到结论；
③如图3，当E在DB的延长线时，根据菱形的性质得到AB=AD，由角的和差得到∠BAE=∠DAF，推出△ABE≌△ADF，根据全等三角形的性质得到∠AEB=∠AFD，推出A，E，F，D四点共圆，根据圆周角定理得到结论；如图4，当E在BD的延长线时，根据菱形的性质得到AB=AD，由角的和差得到∠BAE=∠DAF，推出△ABE≌△ADF，根据全等三角形的性质得到结论．

解答解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠ABD=∠ADB=40°，
∵∠BAD=∠EAF，
∴∠BAD-∠EAD=∠EAF-∠EAD，
即∠BAE=∠DAF，
在△ABE与△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠ADF=∠ABE，BE=DF，
∴∠BDF=∠ADB+∠ADF=90°；

（2）①BE=DF；
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD，
∵∠BAD=∠EAF，
∴∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠DAF，
即∠BAE=∠DAF，
，在△ABE与△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DAF，
∴BE=DF；
②α+β=180°；
证明：∵△BAE≌△DAF，
∴∠ABE=∠ADF，
∵∠BDF=∠BDA+∠ADF=∠ABD+∠ADB=β，
在△ABD中，∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，
即α+β=180°；
③α+β=180°或α=β；
如图3，当E在DB的延长线时，四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD，
∵∠BAD=∠EAF，
∴∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠DAF，
即∠BAE=∠DAF，
，在△ABE与△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DAF，
∴∠AEB=∠AFD，
∴A，E，F，D四点共圆，
∴∠BDF=∠EAF，
∴α=β；
如图4，当E在BD的延长线时，四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD，
∵∠BAD=∠EAF，
∴∠BAE-∠EAD=∠EAD-∠DAF，
即∠BAE=∠DAF，
，在△ABE与△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DAF，
∴∠ABE=∠ADF，
∵∠BDF=∠BDA+∠ADF=∠ABD+∠ADB=β，
在△ABD中，∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，
即α+β=180°；
∴当点E在直线BD上移动时，α与β之间的数量关系是α+β=180°或α=β．

点评本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，菱形的性质，四点共圆，正确的画出图形是解决③小题的关键．

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