Question

【题目】如图所示是一个纸杯，它的母线延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图是扇形OAB，经测量，纸杯开口圆的直径为6cm，下底面直径为4cm，母线长EF=9cm，求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积．（结果保留根号和π）

Answer 1

【答案】解：由题意可知： =6πcm， =4π，设∠AOB=n，AO=R，则CO=R﹣9， 由弧长公式得：l= ，
∴ ，
解得：n=40，R=27，
故扇形OAB的圆心角是40度．
∵R=27，R﹣9=18，
∴S扇形OCD= ×4π×18=36π（cm2），
S扇形OAB= ×6π×27=81π（cm2），
纸杯侧面积=S扇形OAB﹣S扇形OCD=81π﹣36π=45π（cm2），
纸杯底面积=π22=4π（cm2）
纸杯表面积=45π+4π=49π（cm2）．
【解析】（1）设∠AOB=n°，AO=R，则CO=R﹣9，利用圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系列方程，并联立成方程组求解即可（2）求纸杯的侧面积即为扇环的面积，需要用大扇形的面积减去小扇形的面积．纸杯表面积=S纸杯侧面积+S纸杯底面积 ．
【考点精析】通过灵活运用几何体的展开图和扇形面积计算公式，掌握沿多面体的棱将多面体剪开成平面图形，若干个平面图形也可以围成一个多面体；同一个多面体沿不同的棱剪开，得到的平面展开图是不一样的，就是说：同一个立体图形可以有多种不同的展开图；在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）即可以解答此题．