Question

18．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D为三角形内一点，且∠ACD=∠DAB=∠DBC．
（1）求∠CDB的度数；
（2）求证：△DCA∽△DAB；
（3）若CD的长为1，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠CDA=135°，∠ADB=135°即可解决问题．
（2）根据两角对应相等两三角形相似即可判定．
（3）由△DCA∽△DAB，推出$\frac{DC}{DA}$=$\frac{DA}{DB}$=$\frac{AC}{BA}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，又CD=1，推出AD=$\sqrt{2}$，DB=2．根据BC=$\sqrt{C{D}^{2}+B{D}^{2}}$，求出BC，再在Rt△ABC中，求出AB即可解决问题．

解答 （1）解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°．
又∵∠ACD=∠DAB，
∴∠ACD+∠CAD=∠DAB+∠CAD=∠CAB=45°，
∴∠CDA=135°
同理可得∠ADB=135°
∴∠CDB=360°-∠CDA-∠ADB=360°-135°-135°=90°．

（2）证明：∵∠CDA=∠ADB，∠ACD=∠DAB，
∴△DCA∽△DAB        

（3）解：∵△DCA∽△DAB，
∴$\frac{DC}{DA}$=$\frac{DA}{DB}$=$\frac{AC}{BA}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
又∵CD=1，
∴AD=$\sqrt{2}$，DB=2．
又∵∠CDB=90°，
∴BC=$\sqrt{C{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在Rt△ABC中，∵AC=BC=$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是发现∠CDB=90°，属于中考常考题型．