Question

如图，△ABC中，∠A=2∠B，∠C≠72°，CD平分∠ACB，P为AB中点，则下列各式中正确的是

1. A.
   AD=BC-CD
2. B.
   AD=BC-AC
3. C.
   AD=BC-AP
4. D.
   AD=BC-BD

Answer 1

B
分析：可在BC上截取CA′=CE，连接DE，可得△ACD≌△EC′D，即CE=AC，进而再通过角之间的转化得出线段之间的关系．
解答：解：因为∠A=2∠B，
所以∠A＞∠B，
所以BC＞AC．
在BC上截取CA′=CE，连接DE′（如图），
易证△ACD≌△EC′D，
所以AD=ED，且∠CED=∠A=2∠B，
又∠CED=∠B+∠EDB，
所以∠B=∠EDB，
所以AD=ED=EB，
所以BC=E′C+E′B=AC+AD，
所以AD=BC-AC．
故此题选B．
注意到：若AD=BC-CD，则CD=BC-AD=A′C=AC，
此时∠CDA′=∠CDA=∠A=2∠B，
所以∠ADA′=4∠B，
又∠ADA′+∠2=4∠B+∠B=180°，
所以∠B=36°，
所以∠C=72°，
与已知矛盾，故A排除，易证BD＞BA′=AD，所以PB＜BD，PA＞AD．
所以AD＜BC-AP，排除C，AD＞BC-BD，排除D．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质，能够运用其性质求解一些简单的计算问题．