Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下五个结论： ① ；②∠ADF=∠CDB；③点F是GE的中点；④AF= AB；⑤S△ABC=5S△BDF ，
其中正确结论的序号是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】
解：依题意可得BC∥AG，
∴△AFG∽△BFC，∴ ，
又AB=BC，∴ ．
故结论①正确；
如图，∵∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4．
在△ABG与△BCD中，
，
∴△ABG≌△BCD（ASA），
∴AG=BD，又BD=AD，∴AG=AD；
在△AFG与△AFD中，
，
∴△AFG≌△AFD（SAS），∴∠5=∠2，
又∠5+∠3=∠1+∠3=90°，∴∠5=∠1，
∴∠1=∠2，即∠ADF=∠CDB．
故结论②正确；
∵△AFG≌△AFD，∴FG=FD，又△FDE为直角三角形，∴FD＞FE，
∴FG＞FE，即点F不是线段GE的中点．
故结论③错误；
∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC= AB；
∵△AFG≌△AFD，∴AG=AD= AB= BC；
∵△AFG∽△BFC，∴ ，∴FC=2AF，
∴AF= AC= AB．
故结论④正确；
∵AF= AC，∴S△ABF= S△ABC；又D为中点，∴S△BDF= S△ABF ，
∴S△BDF= S△ABC ， 即S△ABC=6S△BDF ．
故结论⑤错误．
综上所述，结论①②④正确，
故答案为：①②④．
由△AFG∽△BFC，可确定结论①正确；
由△ABG≌△BCD，△AFG≌△AFD，可确定结论②正确；
由△AFG≌△AFD可得FG=FD＞FE，所以点F不是GE中点，可确定结论③错误；
由△AFG≌△AFD可得AG= AB= BC，进而由△AFG∽△BFC确定点F为AC的三等分点，可确定结论④正确；
因为F为AC的三等分点，所以S△ABF= S△ABC ， 又S△BDF= S△ABF ， 所以S△ABC=6S△BDF ， 由此确定结论⑤错误．