【题目】如图,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C
(1)求抛物线的表达式;
(2)在直线AC的上方的抛物线上,有一点P(不与点M重合),使△ACP的面积等于△ACM的面积,请求出点P的坐标;
(3)在y轴上是否存在一点Q,使得△QAM为直角三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标:若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)点P的坐标为:(2,3);(3)存在,点Q的坐标为:(0,1)或(0,3)或(0,)或(0,﹣
)
【解析】
(1)抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),即可求解;
(2)过点M作直线m∥AC,在AC下方作等距离的直线n,直线n与抛物线交点即为点P,即可求解;
(3)分AM时斜边、AQ是斜边、MQ是斜边三种情况,分别求解即可.
解:(1)抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),
故﹣3a=1,解得:a=﹣1,
故抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+3;
(2)过点M作直线m∥AC,直线m与抛物线交点即为点P,
设直线m的表达式为:y=﹣x+b,
点M(1,4),则直线m的表达式为:y=﹣x+5,
联立方程组,
解得:x=1(舍去)或2;
故点P的坐标为:(2,3);
(3)设点Q的坐标为:(0,m),而点A、M的坐标分别为:(3,0)、(1,4);
则AM2=20,AQ2=9+m2,MQ2=(m﹣4)2+1=m2﹣8m+17;
当AM时斜边时,则20=9+m2+m2﹣8m+17,解得:m=1或3;
当AQ是斜边时,则9+m2=20+ m2﹣8m+17,解得m=;
当MQ是斜边时,则m2﹣8m+17=20+9+m2,解得m=﹣,
综上,点Q的坐标为:(0,1)或(0,3)或(0,)或(0,﹣
)
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【题目】如图所示,已知Rt△ABC中,∠B=90°,BC=4,AB=4,现将△ABC沿BC方向平移到△A′B′C′的位置.若平移的距离为3,则△ABC与△A′B′C′重叠部分的阴影面积为__.
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【题目】如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△AB
C
;
(2) 请画出△ABC关于原点对称的△AB
C
;
(3) 在轴上求作一点P,使△PAB的周长最小,请画出△PAB,并直接写出P的坐标.
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【题目】如图,四边形ABCD是菱形,⊙O经过点A、C、D,与BC相交于点E,连接AC、AE.若∠D=70°,则∠EAC的度数为____________.
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【题目】△ABC在边长为l的正方形网格中如图所示.
①以点C为位似中心,作出△ABC的位似图形△A1B1C,使其位似比为1:2.且△A1B1C位于点C的异侧,并表示出A1的坐标.
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C.
③在②的条件下求出点B经过的路径长.
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【题目】有一个抛物线形的拱形桥洞,桥洞离水面的最大高度为4m,跨度为10m,如图所示,把它的图形放在直角坐标系中.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)一辆宽为2米,高为3米的货船能否从桥下通过?
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【题目】重庆移动为了提升新型冠状肺炎“停课不停学”期间某片区网络信号,保证广大师生网络授课、听课的质量,临时在坡度为的山坡上加装了信号塔
(如图所示),信号塔底端
到坡底
的距离为3.9米.同时为了提醒市民,在距离斜坡底4.4米的水平地面上立了一块警示牌
.当太阳光线与水平线成53°角时,测得信号塔
落在警示牌上的影子
长为3米,则信号塔
的高约为(tan53°≈1.3)( ).
A.10.4B.11.9C.11.4D.13.4
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【题目】如图,有一抛物线型的立交桥桥拱,这个桥拱的最大高度为16米,跨度为40米,若要在跨度中心点的左,右5米处各垂直竖立一根铁柱支撑拱顶,则铁柱应取多长?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线,过点
和点
,与y轴交于点C,连接AC交x轴于点D,连接OA,OB
求抛物线
的函数表达式;
求点D的坐标;
的大小是______;
将
绕点O旋转,旋转后点C的对应点是点
,点D的对应点是点
,直线
与直线
交于点M,在
旋转过程中,当点M与点
重合时,请直接写出点M到AB的距离.
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