Question

12．如图1，P（2，2），点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上运动，且PA=PB．
（1）求证：PA⊥PB；
（2）若点A（8，0），求点B的坐标；
（3）求OA-OB的值；
（4）如图2，若点B在y轴正半轴上运动时，直接写出OA+OB的值．

Answer 1

分析 （1）过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，根据点P的坐标可得PE=PF=2，然后利用“HL”证明Rt△APE和Rt△BPF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠APE=∠BPF，然后求出∠APB=∠EPF=90°，再根据垂直的定义证明；
（2）求出AE的长度，再根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，然后求出OB，再写出点B的坐标即可；
（3）根据全等三角形对应边相等可得PE=PF，再表示出PE、PF，然后列出方程整理即可得解；
（4）同（3）的思路求解即可．

解答 （1）证明：如图1，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，
∵P（2，2），
∴PE=PF=2，
在Rt△APE和Rt△BPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB\\;}\\{PE=PF}\end{array}\right.$，
∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），
∴∠APE=∠BPF，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠BPF+∠BPE=∠EPF=90°，
∴PA⊥PB；
（2）解：易得四边形OEPF是正方形，
∴OE=OF=2，
∵A（8，0），
∴OA=8，
∴AE=OA-OE=8-2=6，
∵Rt△APE≌Rt△BPF，
∴AE=BF=6，
∴OB=BF-OF=6-2=4，
∴点B的坐标为（0，-4）；
（3）解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，
∴AE=BF，
∵AE=OA-OE=OA-2，
BF=OB+OF=OB+2，
∴OA-2=OB+2，
∴OA-OB=4；
（4）解：如图2，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，
同（1）可得，Rt△APE≌Rt△BPF，
∴AE=BF，
∵AE=OA-OE=OA-2，
BF=OF-OB=2-OB，
∴OA-2=2-OB，
∴OA+OB=4．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，熟练掌握三角形全等的判断方法是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形．