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【题目】如图,已知AC⊥CB,DB⊥CB,AB⊥DE,垂足为F,AB=DE,E是BC的中点.

(1)求证:BD=BC;
(2)若AC=3,求BD的长.

【答案】
(1)解:∵DE⊥AB,可得∠BFE=90°,

∴∠ABC+∠DEB=90°,

∵∠ACB=90°,

∴∠ABC+∠A=90°,

∴∠A=∠DEB,

在△ABC和△EDB中,

∴△ABC≌△EDB(AAS),

∴BD=BC;


(2)解:∵△ABC≌△EDB,

∴AC=BE=3,

∵E是BC的中点,

∴BC=2BE=6,

∴BD=BC=6


【解析】(1)由DE⊥AB,可得∠BFE=90°,由直角三角形两锐角互余,可得∠ABC+∠DEB=90°,由∠ACB=90°,由直角三角形两锐角互余,可得∠ABC+∠A=90°,根据同角的余角相等,可得∠A=∠DEB,然后根据AAS判断△ABC≌△EDB,根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC;(2)由(1)可知△ABC≌△EDB,根据全等三角形的对应边相等,得到AC=BE,由E是BC的中点,得到BD=BC=2BE.

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