Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若过点A（-1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式．
（3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据函数图象过x轴上两点M（1，0）和N（3，0），设出函数两点式，将D（0，3）代入解析式，求出a的值，即可求出函数解析式；
（2）根据过点A（-1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，再由AC=3，BC=4，求出B点坐标，利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（3）设⊙P与AB相切于点Q，与x轴相切于点C；证出△ABC∽△PBQ，得到

BQ

BC

=

PQ

AC

=

PC

AC

，求出PC的长，即可求出P点坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），
∴假设二次函数解析式为：y=a（x-1）（x-3），
将D（0，3），代入y=a（x-1）（x-3），
得：3=3a，∴a=1，
∴抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3）=x²-4x+3；

（2）∵过点A（-1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，
∴

1

2

AC×BC=6，
∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，
∴二次函数对称轴为x=2，
∴AC=3，
∴BC=4，
∴B点坐标为：（2，4）或（2，-4），
一次函数解析式为；y=kx+b，当点B为（2，4）时，
∴

4=2k+b 0=-k+b

，
解得：

k= 4 3 b= 4 3

，
∴y=

4

3

x+

4

3

；
当点B为（2，-4）时，

-4=2k+b 0=-k+b

，
解得

k=- 4 3 b=- 4 3

，
∴y=-

4

3

x-

4

3

，
∴直线AB的解析式为：y=

4

3

x+

4

3

或y=-

4

3

x-

4

3

；

（3）∵当点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，
设⊙P与AB相切于点Q，与x轴相切于点C；
∴PQ⊥AB，AQ=AC，PQ=PC，
∵AC=1+2=3，BC=4，
∴AB=5，AQ=3，
∴BQ=2，
∵∠QBP=∠ABC，
∠BQP=∠ACB，
∴△ABC∽△PBQ，
∴

BQ

BC

=

PQ

AC

=

PC

AC

，
∴

2

4

=

PC

3

，
∴PC=1.5，
P点坐标为：（2，1.5），
同理可得（2，-1•5），（2，-6），（2，6）．

点评：本题考查了二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一函数的解析式、二次函数的解析式及相似三角形的判定和性质、切线的判定和性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．