Question

2．如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=8，∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1）．
（1）若点D与点A重合，则θ=45°，a=8；
（2）若折叠后点D恰为AB的中点（如图2），求θ的度数．

Answer 1

分析 （1）利用轴对称的性质即可解决问题；
（2）延长MD、OA，交于点N，如图2．易证△BDM≌△ADN，则有DM=DN，根据垂直平分线的性质可得OM=ON，根据等腰三角形的性质可得∠MOD=∠NOD，从而就可求出θ．

解答 解：（1）若点D与点A重合，
则θ=$\frac{1}{2}$∠COA=45°，OA=OC=8．
故答案为：45°，8．
（2）如图：延长MD、OA，交于点N．

∵∠AOC=∠BCO=90°，
∴∠AOC+∠BCO=180°，
∴BC∥OA，
∴∠B=∠DAN．
在△BDM和△ADN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠DAN}\\{BD=AD}\\{∠BDM=∠ADN}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△ADN（ASA），
∴DM=DN．
∵∠ODM=∠OCM=90°，
∴根据线段垂直平分线的性质可得OM=ON，
∴根据等腰三角形的性质可得∠MOD=∠NOD．
由折叠可得∠MOD=∠MOC=θ，
∴∠COA=3θ=90°，
∴θ=30°．

点评 本题主要考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定，构造全等三角形是解决第（2）小题的关键．