Question

7．已知，如图在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AE于E．
（1）求证：BE=$\frac{1}{2}$AD；
（2）连结CE，求∠CED的度数．

Answer 1

分析 （1）分别延长AC、BE，它们交于F点，由AE平分∠CAB，AE⊥BE，得到△ABF为等腰三角形，BF=2BE；易证得△ACD≌△BCF，则根据全等三角形的性质，AD=BF，即可得到结论；
（2）先证明EF=CE，利用等边对等角得到∠FCE=∠EFC=67.5°，再利用三角形的内角和为180°求出∠CEF=45°，根据∠CED=90°-∠CEF即可解答..

解答 解：（1）分别延长AC、BE，它们交于F点，如图1：

∵AE平分∠CAB，AE⊥BE，
∴△ABF为等腰三角形，BF=2BE，
∵∠ACB=∠AEB=90°，∠ADC=∠EDB，
∴∠CAD=∠CBF，
在△ACD与△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠CBF}\\{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCF}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCF（ASA），
∴AD=BF，
∴BE=$\frac{1}{2}$AD．
（2）如图2，

∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵AE平分∠CAB，AE⊥BE，
∴△ABF为等腰三角形，BF=2BE，
∴∠F=∠ABF=（180°-45°）÷2=67.5°，
∵∠ACB=90°，BE=2BF，
∴CE=EF，
∴∠FCE=∠EFC=67.5°，
∴∠CEF=180°-∠FCE-∠EFC=180°-67.5°-67.5°=45°，
∴∠CED=90°-∠CEF=90°-45°=45°．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．