Question

17．如图，在任意的△ABC中，分别以AB和AC为腰作等腰△ABE和等腰△ACD，AB=AE，AC=AD，且∠BAE+∠CAD=180°，连接DE，延长AC交DE于F．
（1）求证：∠CAB=∠AED+∠ADE；
（2）若∠ACB=∠BAE=∠CAD=90°，如图2，求证：BC=2AF；
（3）若在△ABC中，如图3所示作等腰△ABE和等腰△ACD，AB与DE交于点F，F为DE的中点，请问（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，延长DA至G点，根据已知条件推出∠EAG+∠GAB+∠CAD=180°，由∠GAB+∠BAC+CAD=180°，于是得到∠EAB=∠CAB，根据三角形的外角的性质得到∠EAB=∠AED+∠ADE，即可得到结论；
（2）如图2，过E点作DA延长线的垂线，垂足为H，由（1）可知，∠EAH=∠BAC，推出△AHE≌△ACB，根据全等三角形的性质得到EH=BC，AH=AC，于是推出AF为△DHE中位线，根据三角形中位线的性质即可得到结论；
（3）如图，延长DA至M点，使AM=DA，连接EM，由于∠BAE+∠CAD=180°，∠CAD+∠CAM=180°，于是得到∠BAE=∠CAM推出∠BAC=CAM，证得△BAC≌△EAM，根据全等三角形的性质得到BC=EM，推出AF为△DEM中位线，根据三角形中位线的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）如图1，延长DA至G点，
∵∠BAE+∠CAD=180°，
即∠EAG+∠GAB+∠CAD=180°，
∵∠GAB+∠BAC+CAD=180°，
∴∠EAB=∠CAB，
∵∠EAB=∠AED+∠ADE，
∴∠CAB=∠AED+∠ADE，

（2）如图2，过E点作DA延长线的垂线，垂足为H，
由（1）可知，∠EAH=∠BAC，
在△AHE和△ACB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHE=∠ACB}\\{∠EAH=∠BAC}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△AHE≌△ACB，
∴EH=BC，AH=AC，
∵AC=AD，
∴AH=AD，
∵∠EHA=∠FAD=90°，
∴AF∥EF，
∵A为DH中点，
∴AF为△DHE中位线，
∴EH=2AF，
∴BC=2AF，

（3）成立，
如图，延长DA至M点，使AM=DA，连接EM，
∵∠BAE+∠CAD=180°，
∠CAD+∠CAM=180°，
∴∠BAE=∠CAM，
∴∠BAE+∠CAC=∠CAM+∠EAC，
即∠BAC=CAM，
∵AM=AD，AD=AC，
∴AM=AC，
在△BAC和△EAM中，
$\left\{\begin{array}{l}BA=EA\\∠BAC=∠EAM\\ AC=AM\end{array}\right.$，
∴△BAC≌△EAM，
∴BC=EM，
∵F、A分别为DE、DM中点，
∴AF为△DEM中位线，
∴EM=2AF，
∴BC=2AF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．