Question

9．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC的中点，点E、F分别在边AB和边AC上，且∠EDF=90°，则下列结论不一定成立的是（　　）

• A． △ADF≌△BDE
• B． S_{四边形AEDF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC
• C． BE+CF=$\sqrt{2}$AD
• D． EF=AD

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质得到AD=BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，根据余角的性质得到∠BDE=∠ADF，于是得到△ADF≌△BDE，证得S_△ADF=S_△BDE，推出S_{四边形AEDF}=S_△ADE+S_△ADF=S_△ADE+S_△BDE-S_△ABD，得到S_{四边形AEDF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC，根据全等三角形的性质得到AF=BE，等量代换得到BE+CF=AF+CF=AC=$\sqrt{2}$AD，由等腰直角三角形的性质得到AD=$\frac{1}{2}$BC，当EF∥BC时，EF=$\frac{1}{2}$BC，而EF不一定平行于BC，即可得到结论．

解答 解：∵∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC的中点，
∴AD=BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，
∵∠EDF=90°，
∴∠BDE+∠ADE=∠ADE+∠ADF=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△ADF与△BDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠DAF}\\{AD=BD}\\{∠ADF=∠BDE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BDE，
∴S_△ADF=S_△BDE，
∵S_{四边形AEDF}=S_△ADE+S_△ADF=S_△ADE+S_△BDE-S_△ABD，
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴S_{四边形AEDF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∵△ADF≌△BDE，
∴AF=BE，
∴BE+CF=AF+CF=AC=$\sqrt{2}$AD，
∵AD=$\frac{1}{2}$BC，
当EF∥BC时，EF=$\frac{1}{2}$BC，
而EF不一定平行于BC，
∴EF不一定等于$\frac{1}{2}$BC，
∴EF≠AD，
故选D．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．