Question

14．如图1，在△ABC中AD是高，点E在AC上，连接ED并延长，交AB的延长线于点F，已知AF=FE；
（1）若DF=AD=AE，求∠F的度数：
（2）如图2，将直线FE沿EA方向进行平移，EF交线段BD于点G，交AD于点H，若AE=AH=FH．
①求证：△ABC是等腰三角形：
②试判断CE，HE，BF之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠FAE=∠FEA，∠AED=∠ADE，由外角的性质得到∠FAE=∠ADE=∠AED，由于∠F=∠FAD，于是得到∠ADE=∠F+∠FAD=2∠F，根据三角形的内角和列方程即可得到结论；
（2）①根据等腰三角形的性质得到∠FAE=∠FEA，∠AED=∠ADE，由外角的性质得到∠FAE=∠ADE=∠AED，由于∠F=∠FAD，于是得到∠ADE=∠F+∠FAD=2∠F，根据三形的内角和列方程求得∠F=36°，由AD⊥BC，根据垂直的定义得到∠ADB=∠ADC=90°，于是得到∠HGD=18°，根据外角的性质得到∠ABC=36°+18°=54°，求出∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=54°，即可得到结论；②由AF=EF，根据线段的和差得到AB+BF=HF+EH，由于AB=AC=AE+CE，等量代换得到AE+CE+BF=HF+EH，由于FH=AE，即可得到结论．

解答 解：（1）∵AF=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE，
∴∠FAE=∠ADE=∠AED，
∵AD=DF，
∴∠F=∠FAD，
∵∠ADE=∠F+∠FAD=2∠F，
∴∠FAE=∠AED=2∠F，
∵∠F+∠FAE+∠AEF=180°，
∴∠F=36°；

（2）①∵AF=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
∵AH=AE，
∴∠AEH=∠AHE，
∴∠FAE=∠AHE=∠AEH，
∵AH=HF，
∴∠F=∠FAH，
∵∠AHE=∠F+∠FAH=2∠F，
∴∠FAE=∠AEH=2∠F，
∵∠F+∠FAE+∠AEF=180°，
∴∠F=36°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠AHE=∠AEH=72°，
∴∠DHG=72°，
∴∠HGD=18°，
∴∠ABC=36°+18°=54°，
∵∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=54°，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形；
②CE+BF=EH．
∵AF=EF，
∴AB+BF=HF+EH，
∵AB=AC=AE+CE，
∴AE+CE+BF=HF+EH，
∵FH=AE，
∴CE+BF=EH．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和，根据三角形是内角和等于180°列方程求得∠F的度数是解题的关键．