Question

15．如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，AC=12，∠BCD=30°，求线段CD长．

Answer 1

分析 过D作DE⊥AC于E，于是得到DE∥BC，根据平行线的性质得到∠CDE=∠BCD=30°，设CD=x，根据直角三角形的性质得到CE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$x，DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，求得AE=12-$\frac{1}{2}$x推出△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质得到$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$，列方程$\frac{12}{12-\frac{1}{2}x}=\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}x}$，即可得到结论．

解答 解：过D作DE⊥AC于E，
∵∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴∠CDE=∠BCD=30°，
设CD=x，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$x，DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴AE=12-$\frac{1}{2}$x，
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$，
∴$\frac{12}{12-\frac{1}{2}x}=\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}x}$，
解得：x=$\frac{48（3\sqrt{3}-2）}{25}$．
∴CD=$\frac{48（3\sqrt{3}-2）}{25}$．

点评 本题考查了含30°角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟记含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．