Question

19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BE和CD是中线．
（1）求证：BE=CD．
（2）求$\frac{OE}{OB}$的值．

Answer 1

分析 （1）由三角形全等得到对应边相等，证得结论；
（2）由相似三角形得到对应边的比相等，再根据三角形的中位线定理得到对应边的比等于$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）证明：∵AB=AC，BE和CD是中线，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，AE=$\frac{1}{2}$AC，
∴AD=AE，
在△ABE与△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠A=∠A}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD；

（2）∵BE和CD是中线，
∴AD=BD，AE=CE，
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴△DEO∽△BCO，
∴$\frac{OE}{OB}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，三角形的中线，相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的判定定理是关键．