Question

（本小题满分11分）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，以点B为圆心，以1为半径作圆． 设点P为⊙B上一点，线段CP绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连接DA，ＰD，PB，

（1）求证：AD=BP；

（2）若DP与⊙B相切，则∠CPB的度数为_________°；

（3）如图2，当B，P，D三点在同一直线上时，求BD的长；

（4）BD的最小值为________，此时tan∠CBP=_________；BD的最大值为 ，此时tan∠CPB=_________．

Answer 1

（1）见解析；（2）45°或135°；（3）；（4）1，1；3， ．

【解析】

试题分析：（1）根据∠ACB=∠DCP=90°得出∠ACD=∠BCP，根据AC=BC，CD=CP得出△ACD≌△BCP说明结论；（2）根据切线的性质得出∠CPB的度数；（3）根据等腰直角三角形得出∠CDP=∠CPD=45°，CPB=135°，由（1）知∠CDA=∠CPB=135°，AD=BP=1 ，则∠BDA＝∠CDA－∠CDP＝90°，根据Rt△ABC的勾股定理求出AB，根据Rt△ABD的勾股定理求出BD的长度；（4）根据圆的性质和三角形的性质求出最大值和最小值．

试题解析：（1）证明：∵∠ACB=90°, ∠DCP=90°，∴∠ACD=∠BCP ∵AC=BC,CD=CP，

∴△ACD≌△BCP（SAS） ∴AD=BP

（2）∠CPB=45°或135°

（3）∵△CDP为等腰直角三角形， ∴∠CDP=∠CPD=45°，则∠CPB=135°。

由（1）可知，△ACD≌△BCP ∴∠CDA=∠CPB=135° AD=BP=1 ∴∠BDA＝∠CDA－∠CDP＝90°

在Rt△ABC中，AB==2 ∴BD==

（4）1，1；3， ．

考点：圆的基本性质、三角形全等的判定、勾股定理．

考点分析： 考点1：圆 圆，圆的有关性质与圆的有关计算是近几年各地中考命题的重点内容。题型以填空题，选择题和解答题为主，也有以阅读理解，条件开放，结论开放探索题作为新的题型，分值一般是6-12分，难易度为中，考察内容：①圆的有关性质的应用。垂径定理是重点。② 直线和圆，圆和圆的位置关系的判定及应用。③弧长，扇形面积，圆柱，圆锥的侧面积和全面积的计算④圆与相似三角形，三角函数的综合运用以及有关的开放题，探索题。突破方法：①熟练掌握圆的有关行政，掌握求线段，角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化。②理解直线和原的三种位置关系，掌握切线的性质和判定的歌，会根据条件解决圆中的动态问题。③掌握有两圆半径的和或差与圆心距的大小关系来盘底的那个两个圆的位置关系，对中考试题中常出现的阅读理解题，探索题，要灵活运用圆的有关性质，进行合理推理与计算。④掌握弧长，扇形面积计算公式。⑤理解圆柱，圆锥的侧面展开图⑥对组合图形 的计算要灵活运用计算方法解题。 试题属性

• 题型：
• 难度：
• 考核：
• 年级：