Question

1．在平面直角坐标系中，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-x-2的顶点为点D，与直线y=kx在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为4；直线OA与抛物线的对称轴交于点C．
（1）求△AOD的面积；
（2）若点F为线段OA上一点，过点F作EF∥CD交抛物线于点E，求线段EF的最大值及此时点E坐标；
（3）如图2，点P为该抛物线在第四象限部分上一点，且∠POA=45°，求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）在图1中求出的A、D坐标，利用S_△AOD=S_梯形AHMD-S_△AOH-S_△DOH即可求解．
（2）直线OA的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，EF∥y轴，可以假设E（m，$\frac{1}{2}$m²-m-2），F（m，$\frac{1}{2}$m），根据EF=$\frac{1}{2}$m-（$\frac{1}{2}$m²-m-2）=-$\frac{1}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$即可解决．
（3）在图2中，构造△AEO≌△HMA，只要证明△OAH是等腰直角三角形，求出点H坐标，再求出直线OH与抛物线的交点P即可．

解答 解：（1）如图1中，作AH⊥y轴DM⊥y轴垂足分别为H、M．
∵y=$\frac{1}{2}$x²-x-2=$\frac{1}{2}$（x-1）²-$\frac{5}{2}$，
∴顶点D坐标（1，-$\frac{5}{2}$），
∴点A横坐标为4，
∴点A的坐标为（4，2），
∴S_△AOD=S_梯形AHMD-S_△AOH-S_△DOH=$\frac{1+4}{2}$×$\frac{9}{2}$-$\frac{1}{2}$×1×$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$×2×4=6．
（2）∵直线OA的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，EF∥y轴，
∴可以假设E（m，$\frac{1}{2}$m²-m-2），F（m，$\frac{1}{2}$m），
∴EF=$\frac{1}{2}$m-（$\frac{1}{2}$m²-m-2）=-$\frac{1}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，EF有最大值=$\frac{25}{8}$，此时的E坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{19}{8}$）．
（3）如图2中，作AE⊥y轴垂足为H，延长EA到M使得AM=EO，过点M作MH⊥EM，过点A作AO的垂线交MH于H．
∵∠AEO=∠OAH=∠AMH=90°，∠EOA+∠EAO=90°，∠EAO+∠MAH=90°，
∴∠EOA=∠MAH，
在△AEO和△HMA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EOA=∠MAH}\\{OE=AM}\\{∠AEO=∠AMH}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△HMA，
∴OA=AH，AE=HM=4，
∵∠OAH=90°，
∴∠AOH=∠AHO=45°，
∴点H坐标为（6，-2），
设直线OH为y=kx，点H坐标代入得到k=-$\frac{1}{3}$，
∴直线OH为y=-$\frac{1}{3}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2+2\sqrt{10}}{3}}\\{y=-\frac{2+2\sqrt{10}}{9}}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2-2\sqrt{10}}{3}}\\{y=-\frac{2-2\sqrt{10}}{9}}\end{array}\right.$，
∵点P在第四象限，
∴点P坐标为（$\frac{2+2\sqrt{10}}{3}$，-$\frac{2+2\sqrt{10}}{9}$）．

点评 本题考查二次函数的有关性质、一次函数的性质、坐标系中三角形面积的计算，第三个问题巧妙构造全等三角形，解决45度角问题，属于中考压轴题．