Question

【题目】在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．

（1）如（图1），当AE⊥BC时，求证：DE∥AC

（2）若∠C＝2∠B，∠BAD＝x°（0＜x＜60）

①如（图2），当DE⊥BC时，求x的值．

②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①15°，②x＝22.5°或45°

【解析】

（1）根据折叠的性质得到∠B＝∠E，根据平行线的判定定理证明；

（2）①根据三角形内角和定理分别求出∠C＝60°，∠B＝30°，根据折叠的性质计算即可；

②分∠EDF＝∠DFE、∠DFE＝∠E、∠EDF＝∠E三种情况，列方程解答即可．

（1）证明：∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，

∴∠CAF+∠BAF＝90°，∠B+∠BAF＝90°，

∴∠CAF＝∠B，

由翻折可知，∠B＝∠E，

∴∠CAF＝∠E，

∴AC∥DE；

（2）①∵∠C＝2∠B，∠C+∠B＝90°，

∴∠C＝60°，∠B＝30°，

∵DE⊥BC，∠E＝∠B＝30°，

∴∠BFE＝60°，

∵∠BFE＝∠B+∠BAF，

∴∠BAF＝30°，

由翻折可知，x＝∠BAD＝∠BAF＝15°；

②∠BAD＝x°，则∠FDE＝（120﹣2x）°，∠DFE＝（2x+30）°，

当∠EDF＝∠DFE时，120﹣2x＝2x+30，

解得，x＝22.5，

当∠DFE＝∠E＝30°时，2x+30＝30，

解得，x＝0，

∵0＜x＜60，

∴不合题意，故舍去，

当∠EDF＝∠E＝30°，120﹣2x＝30，

解得，x＝45，

综上可知，存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等，且x＝22.5或45．