Question

19．已知：如图，平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠A的平分线交BC于E，交DC延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，射线BG交AD于H，交CD延长线于M
（1）求CE的长；
（2）求MF的长．

Answer 1

分析 （1）由角平分线得出∠BAE=∠DAE，由平行四边形的性质得出AD∥BC，BC=AD=6，证出∠DAE=∠AEB，∠BAE=∠AEB，得出BE=AB=4，即可得出结果；
（2）由ASA证明△ABG≌△AHG，得出AH=AB=4，∠ABG=∠AHG，得出HD=2，由平行线的性质和角的关系得出∠M=∠MHD，得出DM=DH=2，同理得出CF=CE=2，即可得出结果．

解答 解：（1）∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD=6，AB=CD=4，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=4，
∴CE=BC-BE=6-4=2；
（2）∵BG⊥AE，
∴∠AGB=∠AGH，
在△ABG和△AHG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAG=∠HAG}\\{AG=AG}\\{∠AGB=∠AGH}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△AHG（ASA），
∴AH=AB=4，∠ABG=∠AHG，
∴HD=AD-AH=6-4=2，
∵AB∥MF，
∴∠ABG=∠M，
∵∠AHG=∠MHD，
∴∠M=∠MHD，
∴DM=DH=2，
同理可得：CF=CE=2，
∴MF=DM+CD+CF=2+4+2=8．

点评 本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、角的平分线、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．