Question

4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
（3）在（2）问下当△ABC再满足一个什么条件，四边形ADCF为正方形．

Answer 1

分析 （1）连接DF，由AAS证明△AFE≌△DBE，得出AF=BD，即可得出答案；
（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形ADCF，求出AD=CD，根据菱形的判定得出即可；
（3）根据等腰三角形性质求出AD⊥BC，得出∠ADC=90°，根据正方形的判定得出即可．

解答 （1）证明：连接DF，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在△AFE和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DBE}\\{∠FEA=∠DEB}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴EF=BE，
∵AE=DE，
∴四边形AFDB是平行四边形，
∴BD=AF，
∵AD为中线，
∴DC=BD，
∴AF=DC；
（2）解：四边形ADCF的形状是菱形，理由如下：
∵AF=DC，AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥AB，
∴∠CAB=90°，
∵AD为中线，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=DC，
∴平行四边形ADCF是菱形；
（3）解：当△ABC满足AC=AB时，四边形ADCF为正方形，理由如下：
∵∠CAB=90°，AC=AB，AD为中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵四边形ADCF是菱形，
∴四边形ADCF是正方形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形、矩形、正方形的判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质；本题综合性强，由一定难度，利于培养学生的推理能力．