Question

16．如图，在直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，A（1，-1），B（-1，-1），C（-1，1），D（1，1）．曲线AA₁A₂A₃…叫做“正方形的渐开线”，其中弧AA₁、弧A₁A₂、弧A₂A₃、弧A₃A₄…所在圆的圆心依次是点B、C、D、A循环，则点A₂₀₁₅坐标是（1，4031）．

Answer 1

分析 先分别求出A₁的坐标是（-1，-3），A₂的坐标是（-5，1），A₃的坐标是（1，7），A₄的坐标是（9，-1），从中找出规律，依规律计算即可．

解答 解：从图中可以看出A₁的坐标是（-1，-3）
A₂的坐标是（-5，1）
A₃的坐标是（1，7）
A₄的坐标是（9，-1）
2015÷4=503…3
∴点A₂₀₁₅的坐标是A₃的坐标循环后的点．
依次循环则A₂₀₁₅的坐标在x轴上的是1，
y轴上的坐标是可以用n=（1+2n）（n为自然数）表示．
那么A₂₀₁₅实际上是当n=2015时的数，所以（1+2×2015）=4031．
A₂₀₁₅的坐标是（1，4031），
故答案为：（1，4031）．

点评 本题主要考查了点的坐标的变化规律和对“正方形的渐开线”的理解，发现规律，理解“正方形的渐开线”是解答此题的关键．