Question

15．把长与宽之比为$\sqrt{2}$的矩形纸片称为标准纸．现有一张标准纸，BC=$\sqrt{2}$，AB=1，将这张标准纸按如图，一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．问第5次对开后所得标准纸的周长为$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，第2014次对开后所得标准纸的周长为$\frac{1+\sqrt{2}}{{2}^{1006}}$．

Answer 1

分析 分别求出每一次对折后的周长，进而得出变化规律求出即可．

解答 解：对开第一次，周长为：2（1+$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$）=2+$\sqrt{2}$，
第二次，周长为：2（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=1+$\sqrt{2}$，
第三次，周长为：2（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
第四次，周长为：2（$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$）=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，
第五次，周长为：2（$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{2}}{8}$）=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
第六次，周长为：2（$\frac{1}{8}$+$\frac{\sqrt{2}}{8}$）=$\frac{1+\sqrt{2}}{4}$，
…
∴第5次对开后所得标准纸的周长是：$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
第2014次对开后所得标准纸的周长为：$\frac{1+\sqrt{2}}{{2}^{1006}}$．
故答案为：$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，$\frac{1+\sqrt{2}}{{2}^{1006}}$．

点评 此题主要考查了翻折变换性质以及规律性问题应用，根据已知得出对开后所得标准纸的周长变化规律是解题关键．