Question

5．已知?ABCD中，F为AD的中点，CE⊥AB于E，连CF
（1）如图1，若∠ECF=45°，求证：CD+AE=CE；
（2）如图2，若∠ECF=30°，直接写出CD、AE、CE之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）延长BA、CF交于M，根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，推出∠M=∠DCF，根据AAS推出△AMF≌△DCF，根据全等得出AM=CD=AB，求出CE=EM，即可得出答案；
（2）解直角三角形求出CE=$\sqrt{3}$EM，即可求出答案．

解答 证明：（1）如图1，延长BA、CF交于M，

∵F为AD的中点，
∴AF=DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠M=∠DCF，
在△AMF和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MFA=∠DFC}\\{∠M=∠DCF}\\{AF=DF}\end{array}\right.$，
∴△AMF≌△DCF（AAS），
∴AM=CD=AB，
∵CE⊥AB，
∴∠CEM=90°，
∵∠ECF=45°，
∴∠M=∠ECF=45°，
∴CE=EM，
∴CD+AE=AB+AE=AM+AE=EM=CE，
即CD+AE=CE；

（2）解：CE=$\sqrt{3}$（CD-AE），
理由是：如图，2，延长BA、CF交于M，

由（1）知：AM=CD=AB，
∵在Rt△MEC中，∠MEC=90°，∠ECF=30°，
∴tan30°=$\frac{ME}{CE}$，
∴CE=$\sqrt{3}$EM，
∵AM-AE=AB-AE=EM，
∴CE=$\sqrt{3}$（CD-AE）．

点评 本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解直角三角形的应用，能正确求出AM=CD=AB是解此题的关键，证明过程类似．