Question

10．已知：如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，动点M、N从点A分别沿边AD、AB运动至点D、B停止，动点P、Q从点C分别沿边CB、CD运动至点B、D停止，它们同时出发，设动点速度均为1cm/s，运动时间为t s，连接MN、NP、PQ、QM．
（1）试说明在运动过程中，四边形MNPQ是矩形；
（2）在运动过程中，当t为何值时，四边形MNPQ是正方形？
（3）在运动过程中，当t为何值时，△PNB沿折痕PN翻折得到△PNB′，使得 点B′恰好落在MQ上？
（4）将△MNA、△PNB、△PQC、△MQD同时沿折痕MN、PN、QP、MQ翻折，得△MNA′、△PNB′△PQC′、△MQD′，若其中两个三角形重叠部分的面积为4cm²，请直接写出动点运动时间t的值．

Answer 1

分析 （1）首先证明△QCP≌△MAN、△AMN≌△CQP，从而得到MN=QP，MQ=NP，然后再证明∠MQP=90°；
（2）由正方形的性质可知：MQ=QP，然后证明△DQM≌△CQP，从而得到QC=DQ=3；
（3）如图1所示，首先证明四边形B′NBP为正方形从而得到NM=OB′=OB．，然后由勾股定理求得，MN、PB的长，然后由BC=CP+PB，列方程求解即可；
（4）如图2所示；根据题意可知：四边形QCPC′、四边形B′A′D′C′、四边形MANA′均为正方形，最后根据AM+B′A′+CP=6，列方程求解即可；如图3所示：根据DM+D′C′+PB=6列方程求解．

解答 证明：（1）∵动点速度均为1cm/s，
∴QC=CP=AM=AN．
∵ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD．
∴QO=MD=BN=BP．
在△QCP和△MAN中$\left\{\begin{array}{l}{QC=AM}\\{∠C=∠A}\\{PC=AN}\end{array}\right.$，
∴△QCP≌△MAN．
∴MN=QP．
同理：MQ=NP．
∴四边形MNPQ为平行四边形．
∵∠C=90°，QC=CP，
∴∠CQP=45°．
同理：∠DQM=45°．
∴∠MQP=90°．
∴四边形MNPQ为矩形．
（2）∵四边形MNPQ为正方形，
∴MQ=QP．
∵∠CQP=45°，∠DQM=45°，
∴∠CQP=∠DQM．
在△DQM和△CQP中$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠D}\\{∠CQP=∠DQM}\\{QP=QM}\end{array}\right.$，
∴△DQM≌△CQP．
∴QC=DQ=3．
∴t=3s．
（3）如图1所示

∵△PBN为等腰直角三角形，
由折叠的性质可知四边形B′NBP为正方形．
∴NM=OB′=OB．
在△MNA中，$MN=\sqrt{A{M}^{2}+A{N}^{2}}=\sqrt{2}t$，在△POB中，PB=$\sqrt{O{P}^{2}+O{B}^{2}}=2t$．
∵BC=CP+PB，
∴t+2t=6．
∴t=2s．
（4）如图2所示；

∵△MNA、△BNP、△QCP、△DQM均为等腰直角三角形，
由翻折的性质可知：四边形QCPC′、四边形B′A′D′C′、四边形MANA′均为正方形．
∵重叠部分的面积为4，
∴B′A′=2．
∵AM+B′A′+CP=6．
∴2t+2=6．
∴t=2s．
如图3所示：DM+D′C′+PB=6．

∴（6-t）+2+（6-t）=6．
解得：t=4．
综上所述，当t=2s或4s时，重合部分的面积为4cm²．

点评 本题主要考查的翻折的性质、等腰直角三角形的性质、矩形的判定、全等三角形的性质和判定，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．