【题目】已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F．
（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=______，如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=______，如图3，若∠ACD=α，则∠AFB=______（用含α的式子表示）；
（2）设∠ACD=α，将图3中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），如图4，试探究∠AFB与α的数量关系，并予以说明．
【答案】（1）120°，90°，180°-α；（2）∠AFB=180°-α，理由见解析
【解析】
（1）如图1，先根据SAS证明△BCD≌△ECA，从而得到∠EAC=∠BDC，再根据三角形外角性质求出其度数．如图2，先根据HL证明△ACE≌△DCB，从而得到∠AEC=∠DBC，进而得出∠AFB的度数．如图3，由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE=∠CDB，从而得出∠DFA=∠ACD，从而求得∠AFB；
（2）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再根据SAS证明△ACE≌△DCB，从而得到∠CBD=∠CEA，再根据三角形内角和定理得到结论．
（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°，
∴△ACD是等边三角形．
∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴△ECB是等边三角形．
∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，
又∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD．
∵AC=DC，CE=BC，
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
∴∠EAC=∠BDC．
又∵∠AFB是△ADF的外角．
∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°．
如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，
∴△ACE≌△DCB（HL）．
∴∠AEC=∠DBC，
又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，
∴∠EFD=90°．
∴∠AFB=90°．
如图3，∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE．
∴∠ACE=∠DCB．
∴∠CAE=∠CDB．
∴∠DFA=∠ACD．
∴∠AFB=180°-∠DFA=180°-∠ACD=180°-α．
（2）∠AFB=180°-α；理由如下：
证明：∵∠ACD=∠BCE=α，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中，
∵
，
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
∴∠CBD=∠CEA，
∴∠EFB=∠ECB=α．
∴∠AFB=180°-∠EFB=180°-α．
阳光试卷单元测试卷系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF=54，则∠B=（ ）
A. 54 B. 60 C. 72 D. 66
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，四边形ABCD中AB∥CD，对角线AC，BD相交于O，点E，F分别为BD上两点，且BE=DF，∠AEF=∠CFB.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AC=2OE，试判断四边形AECF的形状，并说明理由.
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【题目】如图，已知O为坐标原点，四边形OABC为长方形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动．
（1）当△ODP是等腰三角形时，请直接写出点P的坐标；
（2）求△ODP周长的最小值．（要有适当的图形和说明过程）
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【题目】如图，以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接BE、DF．
（1）当四边形ABCD为正方形时（如图1），则线段BE与DF的数量关系是 ．
（2）当四边形ABCD为平行四边形时（如图2），问（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
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【题目】如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：
（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的九分之一？
（2）是否存在时刻t，使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
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【题目】（1）如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN．请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论；
（2）将图1中的三角形纸片BMN剪下，如图2，折叠该纸片，猜测MN与BM的数量关系，无需证明．
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【题目】如图，等边△ABC的顶点A，B分别在函数y=-
图象的两个分支上，且AB经过原点O．当点A在函数y=-的图象上移动时，顶点C始终在函数y=
的图象上移动，则k的值为（ ）
A. 8B. 6C. 
D. 2
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