Question

2．如图所示△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：四边形CEDF为正方形；
（2）若AC=6，BC=8，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）直接利用矩形的判定方法以及角平分线的性质得出四边形CEDF为正方形；
（2）利用三角形面积求法得出EC的长．

解答 （1）证明：过点D作DN⊥AB于点N，
∵∠C=90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴四边形FCED是矩形，
又∵∠A，∠B的平分线交于D点，
∴DF=DE=DN，
∴矩形FCED是正方形；

（2）解：∵AC=6，BC=8，∠C=90°，
∴AB=10，
∵四边形CEDF为正方形，
∴DF=DE=DN，
∴DF×AC+DE×BC+DN×AB=AC×BC，
则EC（AC+BC+AB）=AC×BC，
故EC=$\frac{6×8}{6+8+10}$=2．

点评 此题主要考查了正方形的判定以及三角形面积求法和角平分线的性质等知识，得出DF=DE是解题关键．