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【题目】如图1,在△ACB和△AED中,AC=BC,AE=DE,∠ACB=∠AED=90°,点E在AB上,F是线段BD的中点,连接CE、FE.
(1)若AD=3 ,BE=4,求EF的长;
(2)求证:CE= EF;
(3)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转,使AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上(如图2),连接BD,取BD的中点F,问(2)中的结论是否仍然成立,并说明理由.

【答案】
(1)

解:∵∠AED=90°,AE=DE,AD=3

∴AE=DE=3,

在Rt△BDE中,

∵DE=3,BE=4,

∴BD=5,

又∵F是线段BD的中点,

∴EF= BD=2.5


(2)

解:如图1,连接CF,线段CE与FE之间的数量关系是CE= FE;

解法1:∵∠AED=∠ACB=90°

∴B、C、D、E四点共圆

且BD是该圆的直径,

∵点F是BD的中点,

∴点F是圆心,

∴EF=CF=FD=FB,

∴∠FCB=∠FBC,∠ECF=∠CEF,

由圆周角定理得:∠DCE=∠DBE,

∴∠FCB+∠DCE=∠FBC+∠DBE=45°

∴∠ECF=45°=∠CEF,

∴△CEF是等腰直角三角形,

∴CE= EF.

解法2:∵∠BED=∠AED=∠ACB=90°,

∵点F是BD的中点,

∴CF=EF=FB=FD,

∵∠DFE=∠ABD+∠BEF,∠ABD=∠BEF,

∴∠DFE=2∠ABD,

同理∠CFD=2∠CBD,

∴∠DFE+∠CFD=2(∠ABD+∠CBD)=90°,

即∠CFE=90°,

∴CE= EF.

2)(1)中的结论仍然成立.


(3)

解:解法1:如图2﹣1,连接CF,延长EF交CB于点G,

∵∠ACB=∠AED=90°,

∴DE∥BC,

∴∠EDF=∠GBF,

在△EDF和△GBF中,

∴△EDF≌△GBF,

∴EF=GF,BG=DE=AE,

∵AC=BC,

∴CE=CG,

∴∠EFC=90°,CF=EF,

∴△CEF为等腰直角三角形,

∴∠CEF=45°,

∴CE= FE;

解法2:如图2﹣2,连结CF、AF,

∵∠BAD=∠BAC+∠DAE=45°+45°=90°,

又∵点F是BD的中点,

∴FA=FB=FD,

在△ACF和△BCF中,

∴△ACF≌△BCF,

∴∠ACF=∠BCF= ∠ACB=45°,

∵FA=FB,CA=CB,

∴CF所在的直线垂直平分线段AB,

同理,EF所在的直线垂直平分线段AD,

又∵DA⊥BA,

∴EF⊥CF,

∴△CEF为等腰直角三角形,

∴CE= EF.


【解析】(1)由AE=DE,∠AED=90°,AD=3 ,可求得AE=DE=3,在Rt△BDE中,由DE=3,BE=4,可知BD=5,又F是线段BD的中点,所以EF= BD=2.5;(2)连接CF,直角△DEB中,EF是斜边BD上的中线,因此EF=DF=BF,∠FEB=∠FBE,同理可得出CF=DF=BF,∠FCB=∠FBC,因此CF=EF,由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE,同理∠DFC=2∠FBC,因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2(∠EBF+∠CBF)=90°,因此△EFC是等腰直角三角形,CF= EF;(3)思路同(1).连接CF,延长EF交CB于点G,先证△EFC是等腰三角形,要证明EF=FG,需要证明△DEF和△FGB全等.由全等三角形可得出ED=BG=AD,又由AC=BC,因此CE=CG,∠CEF=45°,在等腰△CFE中,∠CEF=45°,那么这个三角形就是个等腰直角三角形,因此得出结论.

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78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77
93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40
整理、描述数据
按如下分数段整理、描述这两组样本数据:

成绩x
人数
部门

40≤x≤49

50≤x≤59

60≤x≤69

70≤x≤79

80≤x≤89

90≤x≤100

0

0

1

11

7

1

(说明:成绩80分及以上为生产技能优秀,70﹣﹣79分为生产技能良好,60﹣﹣69分为生产技能合格,60分以下为生产技能不合格)
分析数据
两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示:

部门

平均数

中位数

众数

78.3

77.5

75

78

80.5

81

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